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HISTÓRIA DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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A - Integral Indefinida
Com o objetivo de mostrar as regras para integração, vamos começar dos seus resultados mais simples, envolvendo funções polinomiais. Assim, já sabemos que a derivada de uma constante é igual a zero, isto é, dada a função
.................
Como é possível a partir desta última relação obter a função original? Utilizando propriedade dos diferenciais, podemos escrever:
Integrando, vem:
O primeiro membro desta equação deve reproduzir a variável dependente y; isto pode ser obtido através da operação:
a partir da qual se obtém a primeira regra de integração: o operador integral anula a ação do operador diferencial, isto é, eles são opostos. Deve-se observar no entanto que existe uma ordem para que os dois operadores se anulem: o operador integral deve atuar, pela esquerda, sobre o operador diferencial. Esta é uma diferença marcante em relação aos operadores algébricos (soma e subtração, multiplicação e divisão) que não dependem da ordem dada. Costuma-se dizer que essa operação transforma-se no operador unitário:
Com relação ao segundo membro da equação, como a função original não contém a variável x, pode-se escrever:
que resulta na segunda regra de integração: a integral do produto de uma constante pela variável de integração é igual ao produto da constante pela integral da variável de integração; em outras palavras, a constante pode ser retirada para fora da integral. É interessante observar que matematicamente essa regra contém a primeira; contudo, o objetivo da…
Com o objetivo de mostrar as regras para integração, vamos começar dos seus resultados mais simples, envolvendo funções polinomiais. Assim, já sabemos que a derivada de uma constante é igual a zero, isto é, dada a função
.................
Como é possível a partir desta última relação obter a função original? Utilizando propriedade dos diferenciais, podemos escrever:
Integrando, vem:
O primeiro membro desta equação deve reproduzir a variável dependente y; isto pode ser obtido através da operação:
a partir da qual se obtém a primeira regra de integração: o operador integral anula a ação do operador diferencial, isto é, eles são opostos. Deve-se observar no entanto que existe uma ordem para que os dois operadores se anulem: o operador integral deve atuar, pela esquerda, sobre o operador diferencial. Esta é uma diferença marcante em relação aos operadores algébricos (soma e subtração, multiplicação e divisão) que não dependem da ordem dada. Costuma-se dizer que essa operação transforma-se no operador unitário:
Com relação ao segundo membro da equação, como a função original não contém a variável x, pode-se escrever:
que resulta na segunda regra de integração: a integral do produto de uma constante pela variável de integração é igual ao produto da constante pela integral da variável de integração; em outras palavras, a constante pode ser retirada para fora da integral. É interessante observar que matematicamente essa regra contém a primeira; contudo, o objetivo da…
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