Definições de Processos Estocásticos

São Carlos, Abril de 2002

Definições de Processos Estáticos

Uma seqüência de variáveis aleatórias definidas no mesmo espaço amostral é denominada uma seqüência aleatória ou um processo aleatório de parâmetros discreto. Por vezes, emprega-se a expressão processo estocástico em lugar de processo aleatório.

Uma vez que um processo estocástico envolve o comportamento de um sistema durante um período de tempo, em definido tal processos, deve-se começar por especificar o conjunto de tempo envolvido. Esse pode ser o intervalo de tempo em uma situação na qual as medidas são tomadas continuamente, tais como, registrar os carros que passam em um determinado cruzamento. Nesse caso, fala-se de um processo de parâmetros contínuos.

Sendo T uma seqüência de tempos.

T={0,1, 2, 3, ...} – discreta

T={t: 0<= t < ¥ } – continua

Suponha que em cada ponto t da conjunta de tempo T . Se pode observar uma medida ou variável aleatória Xt . Assim supõe-se que alguma experiência aleatória é dada. E que para cada ponto amostral ou resultado experimental. Corresponde não apenas um único número mas uma Xt inteira. Se o ponto amostral ou resultado experimental for indicado por s. então pode-se indicar a função por :

Xt (s) para t Î T

Tal função aleatória de t é chamada um processo estocástico.

A estrutura de probabilidade de uma seqüência aleatória de parâmetro discreto é determinada pelas probabilidades conjuntas

P[X0= j0, X1= j1, ....., Xk= jk]

Então, um processo Markoviano de parâmetros discreto será uma seqüência aleatória que satisfaz:

P[Xk = jk / X0 = j0, X1 = j1, ... . Xk-1 = jk-1] = P[Xk = jk / Xk-1 = jk-1]

As probabilidades de transição estacionárias é aquela que de um passo não dependem de que passo está sendo considerado sempre será a mesma.

P[Xk = j / Xk-1 = i ] = P [Xr = j / Xr-1 = i]

para cada k e r ( desde que Xk-1 Xr-1 tenham probabilidades não nulas de serem iguais a i). Esse processo é dito como tendo um mecanismo de transição estacionária, e só se considerará processos Markovianos discretos com essa propriedade.

A matriz P cujas entradas são as probabilidades de transição de um passo Pij.

P = (P(i.j))

É denominada a matriz de transição do processo. Que possui algumas propriedades.

A soma das estradas em cada linha de P seja igual a 1.

Qualquer matriz que tenha entradas não negativas com somas de linhas todas iguais a 1 é chamada uma matriz estocástica.

P(2) = P . P

A matriz de probabilidade de transição de dois passos é formada elevando a matriz de probabilidade de transição de um passo ao quadrado. Desprende-se facilmente, por indução que

P(n) = Pn.

Da relação matricial Pn+m = Pn . Pm , pode-se também, deduzir uma importante relação sobre os elementos de P(n+m) = P(n) . P(m)

Classificação dos Estados

No estudo das Cadeias de Markov discretas, é conveniente classificar os estados de modo a que se possa identificar certos tipos de cadeias. São as seguintes. Essas definições.

Suponha que o processo comece em algum estado j. Se k é um estado tal que Pij(n)>0 para algum n, então se diz que o estado k poderá ser alcançado do estado j. Se além disso, Pkj(m)>0 para algum m, o estado j