Inferência Estatística

Inferência Baysiana

São Carlos, Abril de 2002-

Introdução

Considerando uma grande alternativa à abordagem Clássica a Inferência Bayesiana, foi lançada por Richard Prince em 1763 quando publicou a título póstumo a obra do Rev. Thomas Bayes, "Na Essay Towards Solving a Probemin the Doctrine of Chances", onde aparece o teorema que tem o seu nome, Teorema de Bayes, que é uma proposição sobre probabilidade condicional.

Definição

A componente amostral W é comum aos modelos Clássico e Bayesiano (embora com interpretações diferentes). Os métodos Bayesianos nada mais são do que uma extensão do modelo Clássico, que tem origem na seguinte divergência fundamental: o parâmetro q , q Î Q , que no modelo Clássico é um escalar ou um vetor desconhecido, mas fixo e passa a ser tomado com escalar ou vetor aleatório; para os Bayesianos tudo o que é desconhecido é incerto e toda incerteza deve ser quantificada em termos de probabilidade. Admitem também sem a companhia dos clássico que a informação a priori, anterior ou externa em relação a amostra é importante para ser ignorada.

A distribuição a priori é posta para tratar formalmente as informações a priori pelos Bayesianos. Assim se q é um parâmetro discreto, designando h(q ) uma função de probabilidade a priori, onde h(q ) exprime o grau de credibilidade que o indivíduo que à analise atribui ao particular q , no caso contínuo, h(q ) a f.d.p. a priori tem-se que h(q )d q mostra o grau de credibilidade que atribui ao intervalo (q ; q +d q ).

Teorema de Bayes

Considere-se uma investigação estatística envolvendo uma família W , de função densidade; f(x/q ), um elemento da família e, h(q ), a distribuição a priori.

O par de v.a. (x, q ), tem função densidade conjunta satisfazendo a relação:

h(q ,x) = h(q /x)*f(x) = f(x/q )*h(q )

com

f(x) =

Densidade marginal de x. Portanto

h(q /x) = f(x/q )*h(q )

f(x)

resultado este que estabelece a distribuição condicionada de q /x = x ou distribuição a posteriori de q e é conhecida por Teorema de Bayes.

Estimados Bayesiano

Lembrando que h(q ), q Î Q , a distribuição a priori de q , considerando o modelo experimental W = {f(x/q ) : q Î Q } e o resultado da particular experiência realizada (x1,x2,.........,xn), o Teorema de Bayes nos leva à distribuição a posteriori que pode ser escrita da forma:

h(q /x1,x2,.........,xn)a [ Õ f(x;/ q ]h(q )

Enquanto os clássicos consideram para cada parâmetro uma multidão de estimadores, para os Bayesianos só há um único estimador: q conducente a estimativas, que maximizam a função densidade a posteriori,