Variáveis Aleatórias

Definição:

Sejam E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento s E S um número real X(s) é denominado variável aleatória. Veja a ilustração.

Assim, a variável aleatória é uma função cujo o domínio é S e contradomínio R.

Uma variável aleatória (v.a.) é uma regra de associação de um valor numérico a cada ponto do espaço amostral.

Exemplo. No jogada de duas moedas, se denotarmos por K a ocorrência de cara e C a ocorrência de coroa, o espaço amostral é:

E = {KK, KC, CK, CC}

Seja X o número de caras. A cada evento simples, ou ponto, de E podemos associar um número, conforme abaixo:

O passo fundamental para entendermos uma v.a. é associar a cada valor a sua probabilidade, obtendo o que se chama uma distribuição de probabilidades, que fica caracterizada pelos valores da v.a. X e pela regra, ou função, que associa a cada valor uma probabilidade. Esta função, chamada função de probabilidade, é denotada por f(x).

No exemplo acima temos:

As probabilidades acima podem ser representadas pela seguinte expressão matemática:

, que considera iguais chances de cara e coroa.

Para estudar e tomar decisões em situações onde existe a incerteza, temos que identificar a v.a. de interesse e obter sua distribuição de probabilidade e a partir daí obter os elementos necessários para a tomada de decisão.

Tipos de variáveis aleatórias

Uma variável aleatória pode ser classificada em discreta ou contínua. Ela é dita discreta se puder somente assumir um número finito, ou infinito porém contável, de valores; e é dita contínua se assumir valores crescentes ou decrescentes de tal forma que tenhamos uma idéia de continuidade, não havendo intervalos que a descaracterizem, mesmo que esta parte faça parte de um intervalo pré-estabelecida.

Distribuições discretas de probabilidade

Distribuições discretas de probabilidade estão associadas a v.a. discretas.

Para que uma função f(x) seja uma distribuição de probabilidade, é necessário que:

Exemplo. Consideremos a soma dos pontos que aparecem na jogada de dois dados. Já sabemos que os valores possíveis da soma X, com suas probabilidades associadas f(x) são:

Para calcularmos probabilidades associadas a uma v.a., temos basicamente de saber calcular as probabilidades dos eventos P(X = z) e P(X £ z). Outras probabilidades podem ser calculadas como combinações dessas duas. Assim no exemplo acima:

P(X 9) = 1 - P(X 8)

P(6 X 8) = P(X 8) - P(X< 6) = P(X 8) - P(X 5)

Representação gráfica de uma distribuição de probabilidade

A distribuição de probabilidade pode ser representada por um gráfico de barras. No exemplo da soma dos pontos na jogada de dois dados a representação gráfica da distribuição de Probabilidade de X é mostrada na Figura 1.

Gráfico de barras para a soma de pontos na jogada de dois dados

Média de X

Assim como definimos a média de uma distribuição de freqüências como soma dos produtos dos diversos valores observados pelas respectivas freqüências relativas, é natural definirmos agora a média de um v.a., ou de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos dos diversos valores da v.a., xi, pelas respectivas probabilidades f(xi). A média de uma v.a. X é também chamada